Nieuw didaktisch materiaal wiskunde: een 3D-printerke

Ik hoop dat jullie zich nog de wet van Archimedes herinneren: de opwaartse kracht die door een vloeistof uitgeoefend wordt op een ondergedompeld voorwerp is gelijk aan het gewicht van de vloeistof die door die onderdompeling verplaatst wordt.
Ik hoop ook dat jullie nog het verhaaltje kennen van de ontdekking van die wet: hoe Archimedes, in een vloeistof gezeten (hij zat in zijn bad in Syracuse), plots zag hoe het precies zat en in zijn blote flikker de straat oprende, terwijl hij “Eureka, Eureka” (“Ik heb het gevonden”) schreeuwde.
Gelukkig waren er toen in Syracuse nog geen GAS-boetes.
Toch niet voor naakte natuurkundigen die iets belangrijks ontdekt hadden…

Maar misschien kennen jullie Archimedes wel van iets heel anders.
Want hij had veel meer op zijn kerfstok dan dat ene wetje over lichamen in vloeistoffen.
Hij ontwierp wapens, een planetarium, een schroef waarmee vloeistoffen omhoog kunnen getransporteerd worden enz., enz.
En hij was ook een befaamd wiskundige.

Het is in het bijzonder over de wiskundige Archimedes dat ik het in dit blogberichtje wil hebben.
Eén van zijn wiskundige vondsten was het bewijs dat een bol, die precies in een cilinder past, 2/3 van het volume van die cilinder inneemt:

Met die kennis kan je gemakkelijk aan de formule voor het volume van een bol komen als je tenminste nog weet dat het volume van een cilinder = oppervlakte grondvlak x hoogte. Maar dat leer je al in de lagere school.
In het geval van de situatie van Archimedes is het volume van de cilinder = π.r².2r = 2π.r³
Waaruit af te leiden valt dat het volume van de bol = 2/3 van het volume van de cilinder = 4/3.π.r³
Maar dan moet je er wel zeker van zijn dat Archimedes gelijk had!
Het zou mooi zijn als je dat proefondervindelijk zou kunnen aantonen.

En daar hebben recent twee wiskundigen van Harvard University, Oliver Knill en Elizabeth Slavkovsky voor gezorgd met behulp van een ultramoderne technologie: een 3D-printer!
Met een 3D-printer maakten ze volgend voorwerp met de aangegeven afmetingen:

In de holle halve bol zit er onderaan aan afsluitbare opening.
Als je nu de bol tot aan de rand vult met water en hem dan laat leeglopen, dan zie je dat de cilinder precies tot aan de rand gevuld geraakt.
En dat bewijst natuurlijk dat Archimedes gelijk had: het volume van een bol is 2/3 van dat van de cilinder waar hij precies in past.

Knill en Slavkovky maakten met hun 3D-printer nog andere figuren die nog andere wiskundige theorema’s van Archimedes aantonen. Je vindt de tekst van hun studie integraal op internet: Thinking like Archimedes with a 3D-printer.

Proefondervindelijke wiskunde in het middelbaar onderwijs.
Ik zie het al gebeuren: de vakgroep wiskunde vraagt aan de directeur van de school een nieuw stukje didactisch materiaal: een 3D-printerke…