maandag 2 mei 2011

Driehoeksgeval – oplossing

Ja Pythagoras laat ons de laatste dagen niet meer los.
Ook voor de oplossing van ons laatste vrijdagpuzzelke hebben we hem nodig.
Alhoewel er natuurlijk ook andere oplossingsmethoden te vinden zijn.

image

Als AA’ en BB’ middellijnen zijn in de driehoek ABC, dan ligt A’ in het midden van BC en ligt B’ in het midden van AC.
We verbinden A’ en B’ met elkaar.
Dan is de ∆ A’B’C gelijkvormig met ∆ ABC, want de hoek C is gemeenschappelijk en CA’ / CB = CB’/CA = 1/2. En dus A’B’/AB = 1/2 of A’B’ = 1/2.AB
We noemen het snijpunt van de twee middellijnen D.
We stellen AB = c, A’B’= c/2, A’D = x, AD = z, B’D = y, BD = w.

We hebben 4 rechthoekige driehoeken: oranje, geel, groen, paars.
En nu komt in elk van die driehoeken Pythagoras op de proppen.

∆ A’B’D:  y2  +  x2  =  c2 /4       (1)      ∆ B’AD:  y2  +  z2  =  400 cm2           (2)

∆ ABD:   w2  +  z2  =  c2            (3)     ∆ BA’D: w2  +  x2  =  225 cm2           (4)

En nu kunnen we x, y , w en z elimineren door  (1)(2) + (3)(4) te berekenen.
Dit levert 5c2 / 4 – 2500 cm2 = 0
Waaruit c2 = 500 cm2. En dus c =  AB = 22,36 cm

Dank je wel Pythagoras!

Geen opmerkingen:

Een reactie plaatsen