Driehoeksgeval – oplossing

Ja Pythagoras laat ons de laatste dagen niet meer los.
Ook voor de oplossing van ons laatste vrijdagpuzzelke hebben we hem nodig.
Alhoewel er natuurlijk ook andere oplossingsmethoden te vinden zijn.



Als AA’ en BB’ middellijnen zijn in de driehoek ABC, dan ligt A’ in het midden van BC en ligt B’ in het midden van AC.
We verbinden A’ en B’ met elkaar.
Dan is de ∆ A’B’C gelijkvormig met ∆ ABC, want de hoek C is gemeenschappelijk en CA’ / CB = CB’/CA = 1/2. En dus A’B’/AB = 1/2 of A’B’ = 1/2.AB
We noemen het snijpunt van de twee middellijnen D.
We stellen AB = c, A’B’= c/2, A’D = x, AD = z, B’D = y, BD = w.

We hebben 4 rechthoekige driehoeken: oranje, geel, groen, paars.
En nu komt in elk van die driehoeken Pythagoras op de proppen.

∆ A’B’D:  y²  +  x²  =  c² /4       (1)      ∆ B’AD:  y²  +  z²  =  400 cm²           (2)

∆ ABD:   w²  +  z²  =  c²            (3)     ∆ BA’D: w²  +  x²  =  225 cm²           (4)

En nu kunnen we x, y , w en z elimineren door  (1) – (2) + (3) – (4) te berekenen.
Dit levert 5c² / 4 – 2500 cm² = 0
Waaruit c² = 500 cm². En dus c =  AB = 22,36 cm

Dank je wel Pythagoras!