Het is weer π-dag vandaag

Het is vandaag 14 maart of 14-03 of volgens de BIN-normen voor data: 03-14.
In de U.S. is de datumnotatie met eerst de maand en dan de dag algemeen in gebruik.
En aangezien π = 3,1415926…, is het vandaag in Amerika overal π-dag.
In Europa ook natuurlijk, maar bij ons wordt daar voorlopig nog niet al teveel aandacht aan besteed. Maar dat komt wellicht nog wel: denk aan Halloween…
Het is vooral het beroemde Californische wetenschapsmuseum Exploratorium dat al 25 jaar de drijvende kracht is achter het vieren van de π- dag.

π = de verhouding tussen de omtrek van een cirkel en zijn diameter.
Maar de waarde van die verhouding bepalen is gemakkelijker gezegd dan gedaan.
Des temeer omdat die verhouding niet correct te bepalen valt!
Je kan de waarde π alleen maar benaderen.

De eerste echte poging om π te benaderen via een berekening was het werk van Archimedes (287-212 VC).
Hij vond dat de waarde van tussen de volgende grenzen moest liggen:
223/71 < π < 22/7 of 3,140745… < π < 3,142857…
En velen onder ons zullen zich wellicht die 22/7 nog wel herinneren (dat hoop ik toch) uit de lagere school.
Archimedes gebruikte voor zijn benaderende berekening een mooie meetkundige methode.
Ik ga die hier niet helemaal uit de doeken doen, maar ga toch even een tipje van de sluier oplichten.

Nemen we een cirkel met straal = 2 en construeren we in de cirkel een rakende zeshoek en een rakend vierkant errond:

Je ziet dat verhouding van de de omtrek van de zeshoek tot de diameter = 3.
Bij het omschreven vierkant is die verhouding = 4
Bijgevolg is voor de cirkel die verhouding = π gelegen tussen 3 en 4.
Door de zeshoek te vervangen door een 12-hoek, 24-hoek, 48-hoek, 96-hoek… zal voor de ingeschreven veelhoek de verhouding van de omtrek van de veelhoek tot de diameter steeds beter en beter π benaderen.
En zo bekwam Archimedes 24 eeuwen geleden een via een 96-hoek een benaderende waarde voor π < 22/7.
24 eeuwen later werd π met supercomputers benaderd tot op triljoenen cijfers na de komma…

Maar 14 maart is niet alleen π-dag.
Het is ook de geboortedag van Albert Einstein.
En misschien is het ook wel de verjaardag van iemand die je duurbaarder is dan π en Einstein.
15 maart is voor mij belangrijker.
Dan is het Mia haar verjaardag.
Vandaag pi-dag, morgen Mia-dag dus!

Nieuw didaktisch materiaal wiskunde: een 3D-printerke

Ik hoop dat jullie zich nog de wet van Archimedes herinneren: de opwaartse kracht die door een vloeistof uitgeoefend wordt op een ondergedompeld voorwerp is gelijk aan het gewicht van de vloeistof die door die onderdompeling verplaatst wordt.
Ik hoop ook dat jullie nog het verhaaltje kennen van de ontdekking van die wet: hoe Archimedes, in een vloeistof gezeten (hij zat in zijn bad in Syracuse), plots zag hoe het precies zat en in zijn blote flikker de straat oprende, terwijl hij “Eureka, Eureka” (“Ik heb het gevonden”) schreeuwde.
Gelukkig waren er toen in Syracuse nog geen GAS-boetes.
Toch niet voor naakte natuurkundigen die iets belangrijks ontdekt hadden…

Maar misschien kennen jullie Archimedes wel van iets heel anders.
Want hij had veel meer op zijn kerfstok dan dat ene wetje over lichamen in vloeistoffen.
Hij ontwierp wapens, een planetarium, een schroef waarmee vloeistoffen omhoog kunnen getransporteerd worden enz., enz.
En hij was ook een befaamd wiskundige.

Het is in het bijzonder over de wiskundige Archimedes dat ik het in dit blogberichtje wil hebben.
Eén van zijn wiskundige vondsten was het bewijs dat een bol, die precies in een cilinder past, 2/3 van het volume van die cilinder inneemt:

Met die kennis kan je gemakkelijk aan de formule voor het volume van een bol komen als je tenminste nog weet dat het volume van een cilinder = oppervlakte grondvlak x hoogte. Maar dat leer je al in de lagere school.
In het geval van de situatie van Archimedes is het volume van de cilinder = π.r².2r = 2π.r³
Waaruit af te leiden valt dat het volume van de bol = 2/3 van het volume van de cilinder = 4/3.π.r³
Maar dan moet je er wel zeker van zijn dat Archimedes gelijk had!
Het zou mooi zijn als je dat proefondervindelijk zou kunnen aantonen.

En daar hebben recent twee wiskundigen van Harvard University, Oliver Knill en Elizabeth Slavkovsky voor gezorgd met behulp van een ultramoderne technologie: een 3D-printer!
Met een 3D-printer maakten ze volgend voorwerp met de aangegeven afmetingen:

In de holle halve bol zit er onderaan aan afsluitbare opening.
Als je nu de bol tot aan de rand vult met water en hem dan laat leeglopen, dan zie je dat de cilinder precies tot aan de rand gevuld geraakt.
En dat bewijst natuurlijk dat Archimedes gelijk had: het volume van een bol is 2/3 van dat van de cilinder waar hij precies in past.

Knill en Slavkovky maakten met hun 3D-printer nog andere figuren die nog andere wiskundige theorema’s van Archimedes aantonen. Je vindt de tekst van hun studie integraal op internet: Thinking like Archimedes with a 3D-printer.

Proefondervindelijke wiskunde in het middelbaar onderwijs.
Ik zie het al gebeuren: de vakgroep wiskunde vraagt aan de directeur van de school een nieuw stukje didactisch materiaal: een 3D-printerke…

Vijgen na paasmaandag

Pasen is weer voorbij.
Binnen 357 dagen is het weer zover.
We moeten dus geen volledig jaar wachten, want in 2013 valt Pasen een week vroeger dan dit jaar: op zondag 31 maart.
Dat is relatief vroeg, maar niet het vroegst mogelijk. Want zoals jullie wel weten hebben de kerkelijke overheden op het eerste concilie van Nicea in 325 besloten dat Pasen moet gevierd worden op de eerste zondag na de eerste volle maan van de de lente.

En aangezien voor de Kerk de lente vast op 21 maart begint, kan het ten vroegste op 22 maart Pasen zijn.
Tel bij die 21 maart 28 dagen op (want de omlooptijd van de maan is 29 dagen), dan kom je op 18 april uit. Als 18 april op een zondag valt en het is dan volle maan, dan is dat nog de eerste volle maan na 21 maart. Bijgevolg is het dan de zondag daarna Pasen. Op 25 april dus. En dat is dus laatst mogelijke datum voor Pasen.
In het Latijn van het concilie van Nicea klonk het over Pasen daarom als volgt: “Nec sequitor Marcum, nec praecedit Benedictum”: niet later dan St. Marcus (25 april) en niet vroeger dan op St. Benedictus (22 maart).

Wie de paasdatum voor de volgende jaren zou willen berekenen kan dat gemakkelijk met Excel.
Plaats in kolom A de data van 2012 tot 2030 bijvoorbeeld (dus van A1 tot A19).
Jullie mogen voor mijn part ook tot 2368 gaan, maar voor mijn doen is dat iets te optimistisch.
Plak dan in B1, de eerste cel van de B-kolom, de volgende formule (bron: Excel Tekst en Uitleg):

=AFRONDEN.BENEDEN(DATUM(A1;5;DAG(MINUUT(A1/38)/2+56));7)-34 

Bedenk dat A1 in deze formule een verwijzing is naar de datum in de eerste cel van kolom A.
Kopieer deze formule in alle onderliggende B-cellen (dus van B1 tot B19) en zorg dat naar de overeenkomstige A-cellen verwezen wordt.
Zorg er ook voor dat je via “celeigenschappen” in de B-cellen het getalformaat op “datum” instelt.
Je zal dan zien dat de vroegste Pasen in die periode op 27 maart 2016 valt. Meteen de dag waarop dat jaar het zomeruur ingaat.
En de laatste Pasen tot 2030 valt op 21 april 2019 en 21 april 2030. Erg laat dus.

Van 22 maart tot 25 april, dat zijn 35 mogelijke data waarop het Pasen kan zijn.
Maar het rare is dat door het kerkelijk voorschrift over de paasdatum er een periodiciteit ontstaat in het voorkomen van die datum.
Geen korte periodiciteit weliswaar: om de… 5.700.000 jaar (!) herbegint de cyclus:

Zoals je ziet valt Pasen het frequentst tussen 28 maart en 20 april.
Dat 19 april een uitschieter vormt heeft te maken met de kerkelijke keuze om het begin van de lente op 21 maart vast te leggen. En met de overgang van de Juliaanse kalender naar de Gregoriaanse kalender in 1582.
Op zijn Merlyn homepage heeft Dr. J.R. Stockton een aantal Pascalprogramma’s uitgewerkt waarmee de distributie over de 35 mogelijke data kan berekend worden.

De uitersten, 22 maart en 25 april, heb ik nooit beleefd en ik zal ze ook nooit beleven.
Pasen op 22 maart kwam laatst voor in 1818 en dat zal nog eens gebeuren in 2285.
Pasen op 25 april heb ik net gemist in 1943.
En de volgende in 2038? Daar zal je hier ook niets meer over lezen vrees ik…

17, het heilig Sudokugetal

Mia is een echte Sodukofan. Op het randje van de verslaving zelfs.
Sudoku’s oplossen is het eerste wat ze doet als ze ‘s morgens wakker wordt en het laatste vóór ze in bed naar dromenland vertrekt. En als we op vakantie gaan zit er steevast een dikke pil vol 9-cijfer-puzzelkes in de koffer.
Voor de eenvoudige opgaven, de starters en de doorbijters, draait ze haar hand niet om.
Die zijn voor mij. De moeilijke, de kamikaze en de vijandige, “dat is spek naar haren bek”.

Uren kan ze er in opgaan, tot ze de oplossing gevonden heeft.
Het gebeurt zelden, maar af en toe zegt ze wel eens met een beetje ontmoediging in haar stem: “Die is niet op te lossen!”

En sommige Sudoku’s zijn ook niet op te lossen.
Een groep wiskundigen van de University College in Dublin, onder leiding van Gary McGuire hebben aangetoond dat een Sudokurooster minstens 17 ingevulde hokjes moet bevatten om oplosbaar te zijn. Alle roosters met minder bekende hokjes kunnen meerdere oplossingen hebben en zijn bijgevolg geen geldige Sudoku’s.
Zo heeft de Australische wiskundige Gordon Royle aangetoond dat de volgende Sodoku met 16 ingevulde hokjes twee oplossingen bezit. Je mag ze altijd eens proberen te vinden.

Dat er een minimaal aantal cijfers moet aanwezig zijn is natuurlijk voor de hand liggend. Veronderstel even een 9x9 rooster met alleen het cijfer 1 er in: dan kan je uiteraard een groot aantal oplossingen bedenken.
Maar om er achter te komen dat er minimum 17 bekende hokjes nodig zijn, zijn straffe wiskundigen, een uitgekiend algoritme en een supersnelle computer nodig.
En die supercomputer heeft toch nog van januari 2011 tot december 2011 moest draaien om een besluit mogelijk te maken.
Hoe de groep van McGuire daar bij te werk gingen kan je in dit pdf-bestand lezen.

Enfin, Mia en alle andere Soduko-freaks gaan best eerst even tellen vóór ze zo’n vijandig rooster aanpakken: 17 is van nu af aan voor hen een heilig Sudokugetal.

Geen grafische rekenmachine meer nodig

Ik heb het nog meegemaakt dat leerlingen in het middelbaar onderwijs voor hun lessen wiskunde een dure grafische rekenmachine nodig hadden. Toen iets in de aard van een TI83.
Zo’n ding kost nu nog altijd rond de € 100.
Maar die uitgave is niet meer echt nodig.

Via Geert kreeg ik immers onlangs de tip dat Google zijn zoekmachine nu ook de grafische weergave van wiskundige functies laat maken.
Je kon al langer Google als een geavanceerde (wetenschappelijke) rekenmachine gebruiken om b.v. 65 mph in km/h te berekenen of 15% van 93.45 of log(16).
Maar dit gaat nog een hele stap verder.
Je moet in de Google zoekbalk maar gewoon de functie intikken en je krijgt onmiddellijk de grafiek.
Je kan zelfs meerdere functies samen weergeven, elke grafiek met zijn eigen kleurtje.
Daarvoor moet je gewoon de afzonderlijke functies ingeven, gescheiden door een komma.

Je kan op de weergave in- en en uitzoomen en met de cursor de grafiek aflopen, zodat je voor elk punt van de curve de bijhorende x- en y-waarden kan aflezen.
Hieronder zie je het resultaat van drie functies in één grafiek:
x/2,(x/2)^2,cos(pi*x/5)

Een prachtig instrument voor elke student die met wiskunde te maken krijgt en voor elke wiskundeliefhebber.
Maar ook wie niet tot de “wiskunde-lovers” behoort kan er zijn hartje mee ophalen.
Typ (of knip en plak) maar eens het volgende in de Google zoekbalk.
En je moet nu geen wilde veronderstellingen beginnen maken…:

((sqrt(cos(x))*cos(500*x)+sqrt(abs(x))-0.4)*(4-x*x)^0.1

De hemel te rijk!

Ik had er nog één in 1965.
En toen heb ik ze in een ondoordachte bui bij mijn studiekameraad en oud-collegemakker Roland Carchon geruild voor een handboek natuurkunde.
Weliswaar voor het fameuze standaardwerk “Leerboek der Natuurkunde onder redactie van Prof. dr. R. Kronig”, maar toch.

”De Kronig” zoals we het boek noemden, staat nog altijd in mijn boekenkast.
Maar mijn rekenlat heb ik niet meer.
Die ligt nu normaal ergens in een lade bij
dr. Roland Carchon, kernfysicus, werkzaam (nog steeds?) aan het Studiecentrum voor Kernenergie (SCK) te Mol en bij het Internationaal Atoomagentschap (IAEA).
Mijn latje zal wel in goede handen zijn bij Roland hoop ik, maar achteraf heb ik toch altijd spijt gehad van die ruil.
Want zo’n Aristo rekenlineaal is een juweeltje van Duits precisiewerk!

We konden er in die tijd vóór de rekenmachine in onze labo’s al onze berekeningen mee maken. We waren daar verdraaid handig in, al zeg ik het zelf. Vermenigvuldigen, delen, sinussen, cosinussen, logaritmen: met wat snel schuifwerk kwam het resultaat probleemloos op tafel.
Waar is die tijd gebleven?

En nu, bijna 50 jaar later, ligt er weer één vóór mij op tafel: een schitterende Aristo – HyperboLog nr. 0971.
Ik ben de hemel te rijk!

Die Aristo kwam weer in mijn leven terecht dankzij Jeannine, een vriendin en oud-collega. Ze had er nog één van Frans, haar man zaliger.
Ik kreeg ze voor mijn opknapwerk aan een oude go-cart voor haar kleinkinderen.
Een fantastisch geschenk!

Ik voelde mij meteen weer een jonge twintiger.
Ik zag weer hoe prof. Grosjean ons op een kille herfstavond (dat denk ik toch), na het eerste fysicapracticum van de 1ste kandidatuur scheikunde, op een levensgroot model toonde hoe je met zo’n ding  tewerk moet gaan.
Ik zag ons weer in dat oude lokaal in de Gentse Jozef Plateaustraat met ons latje de valversnelling berekenen en de foutenrekening doen na een meting met de omkeerbare slinger.
Glorieuze en plezierige tijden, toen alles nog moest beginnen...

Mijn PC staat nu even op standby, internet kan mij nu een tijdje gestolen worden.
Ik moet eerst weer weten hoe je met dat wonderlijke ding de sinus van 26° berekent.
Hoe ging dat ook al weer?

Poolshoogte nemen, hoe doe je dat?

Ergens poolshoogte van nemen.
Die uitdrukking kennen we uit ons taalgebruik, in de betekenis van: kijken wat er aan de hand is, zich vergewissen van de situatie.
En het is poolshoogte nemen en niet polshoogte nemen zoals je soms verkeerdelijk kan horen of lezen.
Maar dat die uitdrukking afkomstig is uit de scheepvaart was voor mij onbekend.
Ik ben er achter gekomen bij het lezen van “Het Nova Zembla verschijnsel”, het boek waarover ik het in mijn berichtje van maandag had.

De kapiteins Willem Barentsz en Jacob van Heemskerck leidden een expeditie om een noordelijke doortocht te vinden naar Azië.
Door de gure winter geraakten hun boten vast op Nova Zembla en waren ze verplicht om daar te overwinteren.
Ze lieten hun bemanning regelmatig oefenen in het bepalen van hun positie.
Eén van die bepalingen was het vastleggen van de breedtegraad.

De breedtegraad geeft aan hoever (in graden) noordelijk (of zuidelijk) men zit t.o.v. de evenaar.
Uiteraard heeft de evenaar dan een breedtegraad = 0° en de noordpool een breedtegraad = 90° N.
”Het Behouden Huys”, de overwinteringsplaats van de Hollandse expeditie op Nova Zembla, lag op 76°N.

Voor het bepalen van de breedtegraad gebruikten de bootslieden in de 16de eeuw een eenvoudige maar slimme meetkundige methode.
Het was bekend dat de poolster vlak boven de noordpool staat. Op een kleine afwijking na (minder dan 1°) is dit correct.
Vanuit een bepaalde positie op de aardbol is bijgevolg de hoek waaronder je de poolster boven de horizon ziet, precies gelijk aan de breedtegraad!.
Onderstaande figuur maakt dat duidelijk hoop ik. 
α = β is omdat de benen van beide hoeken loodrecht op elkaar staan.

En β kon men in de 16de eeuw meten.
Met een Jacobsstaf bijvoorbeeld:

Als men dus met de Jacobsstaf de poolshoogte nam, wist men waar men zich bevond.
Als wij poolshoogte nemen, weten we waar we aan toe zijn.
Of hoe een spitsvondige meetmethode alleen nog haar figuurlijke betekenis heeft overgehouden…

Het ezelsbrugske

Toen ik hier vrijdag mijn wekelijks puzzeltje ten tonele voerde, had ik het over de meetkunde en over de stelling van Pythagoras. Over het ezelsbrugske dus.
Dat deed me toen al mijmeren over mijn jonge jaren. Over mijn eerste jaren in de “humaniora”.
Ik wist nog dat we er toen een stukje over gelezen hadden van de hand van pater Emiel Fleerackers, in onze Zuid en Noord, “een bloemlezing uit Zuid-en Noordnederlandse schrijvers” zoals dat handboek heette.

Pater Fleerackers vertelde daar het verhaal van een klas die in de wiskundeles de stelling van Pythagoras te verwerken kreeg. En van een overhoring die er op volgde.
Mia herinnerde zich dat verhaaltje ook.
We zijn dan maar samen naar onze zolder getrokken, want we wilden het opnieuw beleven. En er opnieuw van genieten. Want we wisten nog hoe plezierig Fleerackers de klassituatie had beschreven.
En we hebben het snel gevonden: Zuid en Noord – deel 3 – blz. 97 -  “Het Bruggeske”.
Omdat ik het zo’n magnifiek ding vond en vind, kan ik niet nalaten om er hier een passage uit aan te halen.

Maar toch eerst even iets over die fameuze stelling van Pythagoras en haar bewijs. Want dat is de context van het verhaaltje.
Het bewijs van die stelling wordt het ezelsbrugske genoemd, omdat wie het niet snapt, met een grijze langoor vergeleken wordt…

De stelling van Pythagoras zegt dat in een rechthoekige driehoek het kwadraat van de schuine zijde gelijk is aan de som van de kwadraten van de rechthoekzijden.
Voor die stelling zijn er talloze bewijzen.
Ik heb een site ontdekt waar er wel 40 te vinden zijn.
Maar het beroemdste bewijs is dat van Euclides, waarbij men vierkanten construeert op de zijden van de rechthoekige driehoek en bewijst dat de som van de oppervlakten van de kleine vierkanten, gelijk is aan de oppervlakte van het grote vierkant.



Het is dat bewijs wat wij indertijd voorgeschoteld kregen.
Ik ga jullie niet vervelen met het hier uit de doeken te doen, maar je moet wel weten dat er bij de bewijsvoering een nogal ingewikkelde constructie te pas komt, met veel punten en lijnen. Je ziet dat op de figuur hierboven.
En het is over die punten en lijnen dat het in het stukje van Fleerackers gaat.

Vergeet nu maar de wiskunde en geniet van de ludieke beschrijving van de hilarische klassituatie.

De passage begint op het moment dat Flor Van den Bremde aan bord het bewijs van van de stelling moet uitleggen voor de strenge pater-leraar, de professor (“het kapmes”) en de hele gniffelende klas.

”Teken een rechten driehoek.”
Flor tekende een rechten driehoek.
”Zet er letters bij.”
Flor zette er letters bij.
”En teken de vierkanten.”
Flor tekende de vierkanten.
”En nu hebt ge drie minuten tijds,”montre en main”, om het theoreem te bewijzen.”
Flor zwol een dikke lip, bekeek zijn stokje krijt eens, toen den professor, dan de figuur op het bord… en toen nam hij zijn uitloop. Van uit puntje A, riskeerde hij een lijntje naar puntje D, geen grote lijn, geen dikke, maar een dun, een onnozel meetje, een draadje.
”Ik trek een lijn van D naar A” murmelde hij
”Van A naar D” hakte ‘t kapmes.
”Van A naar D” ruiste Flor als een echo… “Nu een lijn van D naar C”.
En weer een ootmoedig meetje, het jongste zusterke van ‘t eerste.
”En een van C naar F”
”Maar waarom toch al die lijnen?” vroeg de professor.
”Om…om…te bewijzen, Pater.”
We begonnen al meer en meer zenuwachtig te worden van plezier.
”Enfin” zei de sture man “ga maar voort.”
En Flor ging voort, neen liep voort, liep verloren.
Nooit heb ik geweten wat hij in zijn brein kreeg, maar hij trok nu meetjes, meetjes naar beneden, meetjes naar omhoog, meetjes naar oost, meetjes naar west.
En naargelang hij meetjes trok, werden stilaan de meetjes meten, lijnen, staven. Staven die daar over ‘t zwarte bord streefden een duim dik nu, met grote letters ernaast, zwaar en stevig als de letters op een uithangbord.
Maar verloren liep hij! ‘t Kon niet anders… De tekening begon er uit te zien als een spinneweb, een doolhof, een spelleke naar de negen o’kes… En ‘t zou me verwonderen, als van uit zijn geometrieken hemel, Euklides niet geknarsetand heeft dat ze zó zijn bruggeske naar de botten hielpen.
En Flor ging maar voort, tekenend lijnen en meten, en hij bouwde maar aan zijn bruggeske, en hij legde nieuwe slagpalen bij, en hij haalde draagpijlers aan en joeffers en balken, telkens, als een echte landmeter of bruggebouwer, er een letter bijschrijvend als merk en teken.
”Ik trek een lijn van Y naar Z.”
De lijn Y-Z lag er. Flor hield stil, keerde zich om.
”Welnu?” vroeg de professor, een beetje verbaasd lijk wij.
”Ik kan het niet, Pater” zei Flor dood-eenvoudig…
Eén ogenblik, één heel kort ogenblikje, is er niets gebeurd… niets!
’t Zat altemaal even paf! Maar toen brak het los… En de zotste cirk is zo zot niet als die zotte klas toen allerzotst werd… Sedert ik zo heb gelachen, spreek me niet meer van lachen! Bij dien krullenden, krollenden, krampenden, krimpenden lach, die toen de onze was, is de schaterlacht van de homerische Goden een glimlachje van een bedeesd juffertje…
De professor zelf, dat stuur en bitsig kapmes van een karakter, lachte lijk ‘ne pure zot!
En Flor stond er stillekes op te kijken, zonder iets op zijn gezicht, stillekes zo maar, en zo effenbots als ‘ne kikvors op een steentje kijkt.
”Flor” zei de professor, - wij hoorden dit zo half en we gisten dit zo half, – “g…ga maar n…naar uw pl…plaatsss… M…maar ‘ne br… bruggebouwer zult ge nooit worden!”

Lang geleden, maar nog altijd even schitterend.
Blij dat we daar meer dan 50 jaar geleden mochten kennis mee maken!

Rubik’s kubus klaar in maximaal 20 bewegingen!

Ik herinner me nog goed hoe ik begin van de tachtiger jaren (1980? 1981?) van de vorige eeuw, verslaafd was aan de kubus van Rubik.



Ik kon maar niet nalaten om dat ding zo snel mogelijk op te lossen.
Ik nam de kubus zelfs mee naar mijn werk, naar het H.-Grafinstituut in Bilzen, dat toen net mijn nieuwe school was geworden, waar ik een nieuwe studierichting, Techniek-Wetenschappen, mocht op poten proberen te zetten.
Tijdens de “speeltijden” en de middagpauzes zat ik maar aan die kubus te draaien.
Ik kon de oplossing wel voor mekaar krijgen, maar ik zal daar wel heel wat draaibewegingen voor nodig gehad hebben.
Ik weet niet meer hoeveel.
Maar wat ik wel weet is dat 30 jaar later, een groep wiskundigen er in geslaagd is om aan te tonen dat, ongeacht wat de startpositie van de kubus is, de oplossing steeds in ten hoogste 20 draaibewegingen op te lossen valt!
Ze hebben (uiteraard) een computer ingeschakeld om tot een sluitend bewijs te komen.
Naar het schijnt zijn er met de zes vlakken van 9 vierkantjes en 6 verschillende kleuren maar liefst 43.252.003.274.489.856.000 (kan je dat getal lezen?) verschillende startposities mogelijk!
En voor elk van deze startposities zijn er dus maximaal 20 draaibewegingen nodig om de kubus op te lossen. D.w.z. dat alle 9 vierkantjes van elk zijvlak, eenzelfde kleur hebben.
Als je wil weten hoe Morley Davidson , John Dethridge, Herbert Kociemba en Tomas Rokicki, tot hun conclusie kwamen, en vonden dat de oplossing van Gods algoritme 20 was, dan moet je eens een kijkje gaan nemen op hun website.

P.S.:
1) 43.252.003.274.489.856.000 = drieënveertig triljoen tweehonderd tweeënvijftig biljard drie biljoen tweehonderd vierenzeventig miljard vierhonderd negenentachtig miljoen achthonderdzesenvijftigduizend.
Als ik mij niet vergis tenminste. En of dat met het "aaneenschrijven" overal in orde is, weet ik ook niet zeker.
Laat me maar iets weten als er schrijffouten in staan.
2) ik heb mijn oude kubus weer van onder het stof gehaald en ik ben weer aan het draaien...

Getwitter over een historische wiskunderuzie

Ik ben op de ogenblik een erg boeiend boek aan het lezen over Isaac Newton.
Het gaat niet zozeer over zijn fundamentele bijdrage tot de mechanica, maar over de andere dingen die hij in zijn leven heeft gedaan.
Bij één van die taken heeft hij zich als een echte detective gedragen.
Ik blijf hier in raadsels spreken omdat ik het boek nog niet uit heb. Van zodra dit het geval zal zijn (binnen een paar dagen) kom ik zeker op dat waar gebeurd verhaal terug.

Maar in het boek wordt ook de vlammende wiskunderuzie aangehaald die er in de zestiger jaren van de 17de eeuw oplaaide tussen Newton en Leibniz. 



Die geweldige ruzie ging over wie de eigenlijke uitvinder was van de differentiaal- en integraalrekening, een tak van de wiskunde die het mogelijk maakt functies van reële en complexe getallen systematisch te bestuderen.
Misschien herinner je nog wel van in je schooltijd het berekenen van limieten en afgeleiden en de studie van het verloop van functies? Wel de wiskundetechnieken die je daar hebt leren toepassen zijn afkomstig van Newton. Of is het van Leibnitz? Of van beiden?

Toen ik naar aanleiding van mijn boek over Newton wat ging rondneuzen op het net om (nog) meer over Isaac te weten te komen, kwam ik op een blogsite én een twitteraccount van de Amerikaanse wiskundelerares Maria H. Andersen terecht.
Die mevrouw heeft er niet beter op gevonden dan de ruzie over de uitvinding van de calculus (de Engelse term voor differentiaal- en integraalrekening) op Twitter uit de doeken te doen.
En ze doet dat op een toch wel zeer originele wijze.
Ze laat namelijk Newton en Leibnitz en andere betrokkenen zelf twitteren over hun belevenissen, hun studies, hun discussies en meningsverschillen op weg naar die zo belangrijke wiskundetechniek.
Eigenlijk twittert Maria H. Andersen niet zelf. Ze heeft een paar van haar studenten de opdracht gegeven om in de huid van de hoofdrolspelers te kruipen en voor de tweets te zorgen. Het boek The Calculus Wars zorgt voor de nodige informatie over het gebeuren.


Wie dus interesse heeft en het verloop van gebakkelei wil volgen moet maar eens op bovenstaand beeld klikken. Je moet zelfs geen twitteraccount hebben om de discussie te volgen.
Maar zo’n (gratis) twitteraccount nemen is toch een aanrader (als je dat nog niet hebt).

  
Want twitteren doe je nooit alleen.
We twitteren al met meer dan 100 miljoen twitteraars en dagelijks komen er meer dan 300.000 bij.
Wat een oorverdovend getsjilpt is me dat wel!

Paasgetallen

Paaszaterdag 2010.
De frisse lente staat met nadruk aan te dringen.
Ze wil ons uit onze luie zetel halen, naar buiten.
We twijfelen, want de zuidenwind bijt nog onaangenaam guur.
Toch valt er nu of binnenkort fantastisch veel te beleven voor wie aandachtig toe wil zien.

Zo zit de natuur vol wondere wiskunde.
De Fibonacci-reeks, de gulden snede, φ = 1.618033989… ligt hier en daar verweven in bloem en dier.
Het filmpje van Cristobal Villa laat dit op schitterende wijze zien.
Laat je verwonderen en geniet ervan.
En ga er buiten maar eens naar op zoek.

Hela, weet je al wat hella is?

Van in onze lagereschooltijd hebben ze er ons mee om de oren geslagen: veelvouden en onderdelen van lengtematen, massa’s, volumes,…
Weet je het nog: hoeveel decagram is 4 kilogram?
Iedere onderwijzer had wel zijn eigen systeempje om zijn leerlingen dergelijke sommetjes tot een goed einde te leren brengen.


Later, in het secundair onderwijs leerden we werken met machten van 10.
En van zodra we daar vertrouwd mee waren, werden die omzettingen kinderspel. Meestal toch. 
deca (da) = 10¹
kilo (k) = 10³ = 10².10¹
1 kilogram = 10².10¹gram = 100 decagram.
En dus is 4 kilogram = 4 kg = 400 decagram = 400 dag.

Langzamerhand kwamen we in contact met zeer grote veelvouden en zeer kleine onderdelen van de basiseenheden.
Dit hield dikwijls verband met onze verdere verkenning op het niveau van moleculen en atomen: de wereld van het enorm kleine, maar tezelfdertijd de wereld van de zeer grote aantallen van enorm kleine deeltjes.
Of later, in het informaticatijdperk, met de megabytes van digitale foto’s bijvoorbeeld of de gigabytes aan geheugenruimte van de moderne harde schijven.
Als ik me beperk tot de veelvouden, herinner ik jullie aan de namen en de waarden van die oude bekenden:
mega (M) = 10⁶
giga (G) = 10⁹
Maar dan volgen de wat vreemdere en veel minder bekende vogels:  
tera (T) = 10¹²
peta (P) = 10¹⁵
exa (E) = 10¹⁸
zetta (Z)= 10²¹
yotta (Y)= 10²⁴
Het valt jullie zonder twijfel op dat elke volgende stap een verhoging met een factor duizend (10³) inhoudt.
Bijgevolg verwachten we als nieuweling in de rij:
Maar hoe noemen we zo’n groot ding?
Het moet in elk geval een naam zijn die wijst op de enorme grootte van het veelvoud.
Dit logisch standpunt heeft men ook bij de voorgangers van 10²⁷ gehanteerd.
Zo is tera genoemd naar zijn Griekse betekenis monster.
En peta komt van penta, de vijf in 10¹⁵ = (10³)⁵
zetta komt van septem, de zeven in 10²¹ = (10³)⁷
yotta van octo, de acht in 10²⁴ = (10³)⁸
Voor 10²⁷ zou je dus nana kunnen verwachten, van de negen in 10²⁷ = (10³)⁹.
Maar dat is zonder Austin Sendek gerekend, een Amerikaanse student fysica.
Austin heeft op Facebook een fanclub gestart om steun te verlenen aan zijn voorstel om 10²⁷ hella te noemen!
Hella zou in het Californisch dialect staan voor enorm, onoverzienbaar.
Een paar gekende dingen uitgedrukt met hella als voorvoegsel zijn:

• de massa van de aarde = 5,97 hellagram
• het vermogen van onze zon = 0,3 hellawatt
• de diameter van het waarneembare heelal = 1,4 hellameter

Op de kortste keren had Austins fanclub meer dan 20.000 leden!
Dat zijn 2.10^-23 hellaleden = 0,00000000000000000000002 hellaleden.
De beslissing over al dan niet hella moet worden doorgehakt door het eerbiedwaardige International Bureau of Weights and Measures (BIPM) in Sèvres bij Parijs, .
Ik weet niet of die respectabele dames en heren voor zo “hellaweinig” Facebookers zullen zwichten…

Je moet er maar op komen

Ik ben een nieuwe poging aan het doen om onze zolders op te ruimen.
Daar zijn allerlei spullen te vinden, want ik heb er in de loop der jaren nogal wat opgestapeld.
Maar vooral veel boeken en oude tijdschriften.
En daar zit nu precies het probleem.
Ik kan het niet laten om daar opnieuw te gaan in lezen.
Zo geraakte ik weer verzonken in een oud boek met biografieën van bekende wis- en natuurkundigen: Pascal, Newton, Gauss,…

 
En in het hoofdstuk over Carl Friedrich Gauss, de prins der wiskunde, vond ik een mooi verhaaltje dat ik jullie niet wil onthouden.

Gelukkige verjaardag Martin!

Het is vandaag nog geen spelletjesdag, maar toch ga ik jullie een puzzeltje presenteren. Twee zelfs.
Deze afwijking van mijn normale blogpatroon heeft alles te maken met de verjaardag van Martin Gardner.

Martin Gardner is de man die mij jarenlang elke maand veel plezier, maar ook soms veel hoofdbrekens bezorgd heeft.
Ik lees al sinds 1964 (dus 45 jaar lang!) maandelijks de Scientific American, een populair wetenschappelijk tijdschrift, dat toch vrij diep op de behandelde onderwerpen ingaat.

Maar naast die wetenschappelijke artikels zijn er ook telkens een aantal vaste rubrieken.
Eén daarvan was jarenlang “Mathematical Games”, waarin Martin Gardner telkens een puzzeltje aanbood dat connecties had met wiskunde of wiskundig denken. Soms eenvoudig, soms echte kuitenbijters waar ik geen oplossing voor vond.
Gardner is in 1956 met zijn maandelijkse afleveringen begonnen. Hij was toen 42 jaar. Een filosoof, geen wiskundige.
Je kan wel uitrekenen dat hij nu 95 is geworden.
Dat is eergisteren gebeurd.
Hij heeft in de Scientific American zijn wiskundepuzzels gepresenteerd tot hij 67 werd (in 1981). Nadien werd zijn rubriek door Ian Stewart overgenomen, maar die is er intussen al mee gestopt.
Maar ook nadat Gardner er in de Scientific American mee ophield, is hij blijven schrijven over “recreatieve wiskunde”.
Meer dan 70 boeken heeft hij er over geschreven.
En uitgerekend op zijn 95ste verjaardag is zijn laatste werk verschenen:”Wanneer jij een dikkopje en ik een vis zou zijn”.
En dat is al zijn tweede boek dit jaar!
Van een kranige, productieve negentiger gesproken. Benijdenswaardig.
Dit eerbetoon aan iemand die me in de voorbije jaren veel puzzelplezier bezorgd heeft wil ik afsluiten met jullie twee voorbeelden te geven van Gardner-puzzels.


De eerste puzzel is een variante op het bekende raadseltje van de boer die met een bootje een geit, een wolf en een kool naar de overkant van een rivier moet brengen.
Zijn bootje is klein waardoor hij slechts één “ding” tegelijk kan meenemen. En de wolf en de geit samen achter laten mag niet want dan eet de wolf de geit op. Als de geit en de kool alleen gelaten worden, eet de geit de kool op.
Hoe slaagt hij erin? Je kent dit wellicht.
En nu volgt de Gardner-variante.
Vier personen moeten in het donker een brug oversteken. Maar de brug is krakkemikkig zodat er maximaal twee personen tegelijk kunnen over lopen. De vier hebben maar één zaklamp en die móét mee, anders zien ze niks. De zaklamp zal dus heen en weer moeten meegenomen worden. Elk van de vier personen loopt daarenboven met een verschillende snelheid: de personen 1, 2, 3 en 4 hebben respectievelijk 1, 2, 5 en 10 minuten nodig om over de brug te komen. Als twee personen samen over de brug lopen, hebben ze daar samen zoveel tijd voor nodig als de traagste van die twee. Wat is de snelste tijd (in minuten) waarin de vier de brug kunnen oversteken?

Puzzel nummer twee.

Met tandenstokertjes maak je een model van een giraffe. Hiernaast zie je hoe dat moet.
Je moet nu door één tandenstokertje te verplaatsen de positie van de giraffe veranderen. Maar de vorm van de giraffe moet dezelfde blijven. Hij mag alleen gedraaid en/of gespiegeld worden.

Denk er maar eens over na en probeer het maar eens uit als je nog een paar "stokertjes" liggen hebt. Of andere “stokskes”.

Morgen geef ik de oplossingen.
En… het wekelijks vrijdagspelleke natuurlijk!

Ken je de Gömböc?

Je kent zonder twijfel wel die poppetjes die zich altijd van zelf oprichten als je ze neer legt.
Mijn moederke had zout- en pepervaatjes die ook altijd recht kwamen als je ze probeerde om te duwen. Ik kon daar uren mee spelen.

Vedische wiskunde, al van gehoord?

Via mijn schoonzus Lutgart, ben ik onlangs voor het eerst in contact gekomen met de Vedische wiskunde.
Lutgart is een echte wiskundeknobbel én een wereldreizigster én een natuurfreak.
Bijzonder om zo iemand als schoonzus te mogen hebben. Daar kan je nog wat van leren.

In het juli-augustusnummer van EOS dat Lutgart me meegaf, kon ik meer lezen over die wiskunde afkomstig uit het Indische continent.
In het artikel wordt meteen duidelijk gemaakt dat het predicaat wiskunde misschien niet helemaal past bij de rekenkundige trucs die er de hoofdmoot van uitmaken.

Die rekentrucs zouden afgeleid zijn van zogenaamde “sutra’s” of “stelregels” die het onthouden van de truc zouden moeten vergemakkelijken.
In totaal zijn er 16 sutra’s en 14 sub-sutra’s.
Ik ga hier niet in op de filosofische achtergrond van die sutra’s.
Ik volsta met te vermelden dat die sutra’s zouden afkomstig zijn uit de zogenaamde Veda’s, oude (1500 – 500 vóór Christus) geschriften uit het Hindoeïsme met religieuze en spirituele inslag.

Ik wil het hier wel hebben over de veel lager-bij-de-grondse praktische toepassing van die sutra’s. Want daar is volgens mij toch wel iets mee te doen. Vooral als je wil gaan hoofdrekenen met grote getallen.

Ik geef een eerste voorbeeld.
Sutra: “alle van 9 en de laatste van 10”
Dit kan toegepast worden bij een aftrekking waarbij het aftrektal bestaat uit een 1 gevolgd door minstens 2 nullen.









Let er op dat de aftrekker altijd evenveel cijferposities moet hebben als er nullen zijn in het aftrektal.
Als dat niet zo is, moet je er zoveel nullen vóór zetten tot dit in orde is.
1.000 – 83 = 1.000 – 083 = 917

Voorbeeld nummer 2
Sutra: “vertikaal en kruiselings”
Deze sutra kan toegepast worden bij vermenigvuldigingen.

Je moet dus verticaal vermenigvuldigen en de kruiselingse producten optellen.

Let op: soms moet er overdracht gebeuren:

Er zijn dus nog 14 sutra’s en 14 sub-sutra’s die we nog niet toegepast hebben.
Mocht je daar goesting in gekregen hebben, dan moet je maar eens Googelen op “Vedic mathematics” en je zal ongetwijfeld je gading vinden.
Vergeet daarbij Google Books niet. Daar kan je b.v. in The Power of Vedic Maths de rekentrucs vinden voor vermenigvuldigen van getallen met veel meer cijfers dan ik hier besproken heb.

Ik sluit in elk geval, zoals het hoort, deze rekenles af met een paar oefeningen als huiswerk:

10.000 – 1101 =
1.000 – 505 =
10.000 – 9876 =
32 x 21 =
23 x 43 =
54 x 64 =

Dus oplossen op vedische wijze. En niet foetelen a.u.b.!

Tetris is 25 jaar jong

Vandaag spelen we geen spelleke. Dat is voor vrijdag.
Vandaag schrijf ik iets over een spelleke. Een fameus spelleke.
25 jaar geleden werd in Moscow Tetris geboren. Volgens sommigen was 6 juni de datum waarop het spel voor het eerst in een speelbare versie klaar was. Anderen houden het op 2 juni.
Ik kies er middenin: 4 juni, vandaag.
25 jaar jong dus. Proficiat Tetris ! En dat je nog lang mag leven.

Als er één spel is waarvan we de verjaardag moeten vieren, dan is het Tetris wel.
Het is een ongelooflijk schot in de roos geweest.
Tijdens die 25 jaar zijn er miljoenen exemplaren van verkocht.
Bedenker was Alexey Pajitnov, toen werkzaam aan de Moscowse Academie voor Wetenschappen.

Pajitnov deed in 1984 met zijn Tetris mee aan een wedstrijd voor computerspellen, maar hij moest tevreden zijn met de tweede plaats. Van de winnaar is nooit iets gehoord, van Tetris des te meer.
Maar Pajitnov is er niet rijk van geworden. Een echte commercant zal het wel niet geweest zijn.

De grote boom voor het spelleke is er gekomen toen Nintendo het op zijn Game Boy plaatste. Tetris werd zó een handig mee te nemen tijdverdrijf. En Nintendo werd de financiële Tetriskampioen.

En je weet hoe het gaat. Als iets een succes wordt, dan is het op de kortste tijd een onderwerp van studie.
Zo hebben de Amerikaanse wiskundigen, Erik D.Demaine, Susan Hohenberger en David Liben-Nowell van het Massachusetts Institute of Technology (MIT) aangetoond dat Tetris eigenlijk een enorm moeilijk te spelen spel is.
Dat zal mijn Tetriskampioen-aan-huis graag horen.
De wiskundigen bedoelen dat het zeer moeilijk is om een strategie en het bijhorend algoritme te ontwikkelen dat toelaat om een computer in het spel een maximaal resultaat te laten halen.
Tetris wordt door die wiskundigen geklasseerd bij de NP-volledige problemen.
Nu begint het technisch wiskundig te worden: NP staat voor "niet-deterministisch-polynomiaal".
Wat dit precies betekent is voor mij veel te moeilijk, maar de wiskundigen onder mijn lezers (dag Annie!) zullen daar wel een kluifje aan hebben.
Wie had dat gedacht van zo'n "onnozel" spelleke?

En het is nog niet gedaan.
Wie regelmatig Tetris speelt, oefent voortdurend en in een steeds hoger tempo, zijn ruimtelijk inzicht en ook zijn reflexen. Met als gevolg dat Tetrisspelers die een IQ-test moeten afleggen, beduidend hoger scoren op de onderdelen waar ruimtelijk inzicht wordt getest.
Tetris spelen kan dus uw IQ verhogen!
Dit doet ook vragen rijzen bij de IQ-testen zelf. Er is inderdaad vastgesteld dat sinds de algemene invoering van die testen, de gemeten IQ-waarden blijven stijgen. Men spreekt van het Flynn-effect: we scoren hoger op een IQ-test, niet omdat we zoveel slimmer zijn dan onze voorouders, maar omdat we meer vertrouwd zijn met het oplossen van abstracte of ruimtelijke problemen. Geven de IQ-testen dan nog wel een correct beeld?

Maar Tetris kan ook voor problemen zorgen. Psychische problemen nog wel.
Fervente spelers kunnen aan het Tetris-effect gaan lijden.
Slachtoffers van dit effect beginnen overal in hun omgeving in elkaar passende voorwerpen te zien: flatgebouwen in de stad en rekken en dozen in een grootwarenhuis zien ze als grote Tetrisblokken!
En sommigen zien, als ze hun ogen sluiten, nog voortdurend blokskes vallen. Ze dromen er soms zelfs van...

Amaai en dat allemaal voor zo'n, op het eerste zicht, gewoon spel.
En doodgewoon zijn die blokjes inderdaad:

Maar die combinatie van telkens 4 vierkantjes in zo'n steentje heeft wel een geleerde naam: tetromino.
Je zou kunnen denken dat de naam van het spel daar iets mee te maken heeft.
Maar dat schijnt niet zo te zijn.
Een tetris is de score die je haalt als je in het spel in één keer 4 rijen kan doen verdwijnen.
Vandaar de naam dus.

Ik krijg nu toch goesting om een Tetriske te doen. Speel maar even mee, maar zorg ervoor dat ge er niet van droomt...

π-dag

Vandaag is het π-dag.
Stilaan begint men daar ook in Europa wat aandacht aan te geven en we zullen dus maar meedoen.
Maar π-dag komt uit Amerika overwaaien.
14 maart wordt daar genoteerd als 3/14 en π is voor een eerste benadering gelijk te stellen aan 3,14.
De Amerikanen vieren zelfs nog een aparte “"pi-benaderingsdag ("Pi Approximation Day) op 22 juli om dat 22/7 een (erg ruwe) benadering is van π.
Wie vandaag een betere benadering van π wil vieren, moet deze namiddag om één minuut vóór twee (1:59 p.m.) even in de houding gaan staan, want dan is het 3,14159…
En pi wordt in het Engels als pie uitgesproken. Je kan dus wel denken dat de π-taartjes er vlot ingaan vandaag.

Maar ik ben aan mijn 314-de dieet bezig sinds half vorige maand en ik ben al 3,14 kg afgevallen. Ik mag dus geen π-taartjes proeven. Zelfs een πizza eten mag ik niet.

Gek allemaal, maar π is en blijft natuurlijk wel een zeer belangrijke constante.
Zoals jullie nog wel zullen weten is π het cirkelgetal.
Al in het lager onderwijs hebben we geleerd dat π = aan de omtrek van een cirkel gedeeld door zijn diameter.
Als de diameter 1 is, is de omtrek van de cirkel dus precies gelijk aan π, zoals je hieronder heel mooi kan zien:

Bron: Wikimedia

Maar π heeft nóg iets met cirkels, want het is ook zo dat π = aan de oppervlakte van een cirkel gedeeld door het kwadraat van zijn straal.

Het symbool π heeft te maken met het Engels voor omtrek: perimeter ("περίμετρος" in het Grieks).
Het was de Engelse wiskundige William Jones die het symbool in 1706 voor het eerst voorstelde. En toen in 1737 de nóg grotere Zwitserse wiskundige Euler het symbool overnam, werd het algemeen aanvaard.

De Babyloniërs hanteerden al een vrij goede waarde van π: 3 1/8 = 3,125. Ze maakten dus maar een fout van 0,5%.

Maar het was Archimedes die π voor het eerst systematisch wiskundig benaderde.
Hij deed dat door veelhoeken in en om een cirkel te trekken en hun omtrek te meten of te berekenen. Hoe meer hoeken die veelhoeken hebben, hoe dichter ze de cirkel benaderen. Bij een 96-hoek in-en om de cirkel hield Archimedes het voor bekeken.
Uit de omtrek van in- en omschreven 96-hoek wist hij dat π tussen 223/71 en 22/7 moest liggen. Als je van die twee getallen het gemiddelde neemt heb je een goede benadering:
π = 3,1419 (fout 0,008 %)

Bron: Kennislink Klik op het beeld voor een grotere weergave

π is eigenlijk niet te berekenen, het is alleen te benaderen.
π is een irrationaal getal, d.w.z. dat het een reëel getal is dat niet kan geschreven worden als het resultaat van de deling van 2 gehele getallen.
π is intussen met computers al tot op meer dan 1.250.000 decimalen berekend.
Maar ook de autistische savant Daniel Tammet kan je π tot op 22.514 cijfers na de komma opzeggen als je het hem vraagt. Je moet dan wel meer dan 5 uur naar hem willen luisteren…

Mnemotechnische middeltjes om de cijfers van π te onthouden hebben een eigen naam gekregen: piphilologie.
Ik liet mijn leerlingen gewoon van buiten leren: “π is drie komma veertien vijftien negen”
Mijn geliefde science-fictionschrijver Isaac Asimov had een middeltje met het aantal letters in elk woord van de volgende zin:

“How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics!”
(Dat levert 3,14159265358979).

En zo’n drankje is waarschijnlijk gezonder dan een een stuk π-taart.
Daar moet ik niet lang over piekeren.

Over Newton's heilige regenboog

Isaac Newton is zonder twijfel één van de grootste natuur- en wiskundigen die de mensheid tot nu toe heeft voortgebracht.
Als wiskundige lag hij samen met Leibnitz aan de basis van de differentiaal- en integraalrekening.
Als fysicus is hij de grondlegger van de basiswetten van de klassieke mechanica.
Maar ook de optica en de kleurenleer werden door Newton systematisch bestudeerd.
Het is over die kleurenleer dat ik het hier vandaag wat meer in detail wil hebben.
Van belang daar bij is dat Newton, ondanks zijn strikt rationele en systematische aanpak van problemen in de fysica, ook zeer intens bezig was met religie, ocultisme en alchemie.
Die terreinen hielden hem zó sterk bezig dat op bepaalde momenten zijn natuurkundig werk er door beïnvloed werd.
In zijn kleurenleer vinden we daar een frappant voorbeeld van.
Newton was degene die voor het eerst zonlicht onderzocht.
Hij deed dat in 1665 met behulp van een prisma.
Zijn biografen beschrijven hoe hij dagen aan een stuk aan het werk was in een dondere kamer waar enkel door een kleine spleet in de muur een lichtbundel binnen kon. Newton liet die lichtbundel breken door het prisma en deed zijn waarnemingen.
Aan zijn intens experimenteerwerk in de donkere ruimte hield hij beginnende blindheid over.

Maar hij concludeerde uit zijn experimenten als allereerste dat zonlicht uit verschillende soorten licht is samengesteld met elk een kenmerkende kleur.

Zijn voorgangers en tijdgenoten (zoals Hooke), dachten dat het prisma op de één of andere wijze de kleuren zelf produceerde.
Newton zag in dat de kleuren al in het invallende licht aanwezig waren en niet door het prisma gemaakt werden. Het sterkste bewijs hiervoor leverde hij door het gekleurde licht via een lens op een tweede prisma te laten invallen: er onstond opnieuw wit licht!

De figuur hierboven geeft dit weer en hieronder zie je een reproductie uit de nota's van Newton zelf hierover:

In eerste instantie sprak hij van 5 kleuren: rood, geel, groen, blauw, violet.
Maar toen kwam zijn ocult-religieuze achtergrond op de proppen: het goddelijke zonlicht kon nooit uit 5 kleurcomponenten bestaan. 5 was geen heilig getal! Er moesten 7 kleurcomponenten in wit licht aanwezig zijn: 7 was een heilig getal bij uitstek! En Newton voerde pardoes 2 kleuren extra toe: oranje en indigo.

En tot de dag van vandaag zeggen we dat wit licht bestaat uit 7 kleurcomponenten: rood, oranje, geel, groen, blauw, indigo en violet. Je herinnert je zeker nog wel het geheugensteuntje ROGGBIV uit je middelbare schooltijd.

Als regendruppels voor de breking van het licht zorgen, zien we de regenboog. We spreken nog altijd over de 7 kleuren van de regenboog. De 7 heilige kleuren van de regenboog!

Dat die 7 geen echte must was en dat er dus evengoed van 8 of 6 of 5 kleuren kan gesproken worden, begrijp je als je het kleurenspectrum van wit licht bekijkt:

Dit is een zogenaamd continu spectrum: de verschillende kleuren zijn niet scherp afgebakend maar lopen vloeiend in elkaar over. Je kan er meerdere aantallen aparte kleuren in aanduiden als je wil: het aantal hangt af van de graad van heiligheid die je wil bereiken...

De moderne fysica ziet in dit spectrum 3 hoofdkleuren: rood, groen en blauw: RGB

Licht van de 3 hoofdkleuren samen, in gelijke verhoudingen geven wit licht.
Door combinatie van 2 of 3 hoofdkleuren in allerlei verhoudingen kan men alle mogelijke kleuren maken.

Met die 3 basiskleuren worden op een "klassieke" kleuren-TV (geen LCD- of plasma-TV!) beelden geschreven.

Let op: we hebben het hier over kleuren ontstaan door mengen van gekleurd licht. Dit is niet hetzelfde als kleuren ontstaan door mengen van verven. Maar dat is voor een andere keer.

Ra ra ra hoe oud was jij?

Die rekentruukjes waren nogal simpel nietwaar?
Ik zal even verklappen waarom ze werken.

Truuk 1
Bedenk dat elk leeftijdsgetal van 2 cijfers ab kan geschreven worden als a.10 + b.
Voorbeelden: 63 = 6.10 + 3 en 21 = 2.10 + 1
Lees nu eens na wat je je slachtoffer liet doen:

1. het eerste cijfer van de leeftijd x 5. Dus a.5
2. er 3 bij optellen. Dus a.5 + 3
3. verdubbelen. Dus 2.(a.5+3) = a.10 + 6
4. er het tweede cijfer van de leeftijd bij optellen.
   Dus a.10 + b +6

Je ziet dat je nu gewoon altijd 6 moet aftrekken van het laatste resultaat om aan het leeftijdsgetal a.10 +b te komen. Simpel niet?

Truuk 2
Eigenlijk is dit geen echte rekentruuk, maar een gevolg van een getalsmatige merkwaardigheid: elk getal van 2 cijfers dat je met 10101 vermenigvuldigt levert als resultaat een getal op waarin het getal van 2 cijfers driemaal na elkaar herhaald staat.
Voorbeeld: 63 x 10101 = 636363 en 21 x 10101 = 212121
Lees nu eens na wat je je slachtoffer liet doen:

1. de leeftijd x 3367
2. resultaat x 3

In feite heb je dus simpelweg de leeftijd met 3 x 3367 = 10101 laten vermenigvuldigen en dan krijg je die leeftijd zomaar driemaal na elkaar in het resultaat te zien. Simpel maar merkwaardig!

Sommige getallen gedragen zich inderdaad heel merkwaardig.
Neem nu getallen waarin alleen het cijfer 1 in voorkomt:
1 x 1 = 1
11 x 11 = 121
111 x 111 = 12321
1111 x 1111 = 1234321
enz.
Merkwaardig toch die symmetrie in de uitkomst.

Andere getallen zijn heilig.
3 is er zo één: de goddelijke drie-éénheid, de drie aartsvaders en...alle goede dingen bestaan uit drie.
7 is er zeker ook één: 7 werken van barmhartigheid, 7 hoofdzonden, 7 dagen in de week, 7 kleuren van de regenboog, ...

Over die 7 kleuren van de regenboog: die zijn van Newton afkomstig. En over die reus van de fysica wil ik morgen meer vertellen.